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zoom RSS 2物体の衝突問題

<<   作成日時 : 2017/06/13 17:01  

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物理なんでも帳50

(この記事は物理学について私が思いついたことの覚書です。
検証してないので、真実かどうかは分かりません。)

タイトル:
2物体の衝突問題

内容:
2物体が衝突したとき、2物体の運動量の総量は保存する。

完全に跳ね返るとき(弾性衝突)
  2物体の速度の差は反転する。
  2物体の運動エネルギーの総量は保存する。

くっつくとき(非弾性衝突)
  2物体の速度の差は0になる。
  2物体の運動エネルギーの総量が減る。熱エネルギーに転換する。

例1)物体Aは1kgで速度1m/s(v1)で左から右へ移動し、
   物体Bは1kgで速度0m/s(v2)で静止している。
   物体Aが物体Bに衝突する。
   衝突後の物体Aの速度をv1'、物体Bの速度をv2'とする。

   衝突前
     運動量の総量
       p = 1(kg) x 1(m/s) (物体Aの運動量)
        + 1(kg) x 0(m/s) (物体Bの運動量)
        = 1
     運動エネルギーの総量
       E = 1(kg) x 1(m/s)^2 / 2 (物体Aの運動エネルギー)
        + 1(kg) x 0(m/s)^2 / 2 (物体Bの運動エネルギー)
        = 0.5

   完全に跳ね返るとき
     衝突前の速度の差
       v1 - v2 = 1
     衝突後の速度の差は反転
       v1' - v2' = -1 (式1)
     衝突後の運動量は保存
       1(kg) x v1' + 1(kg) x v2' = 1 (式2)
     各速度
       式1と式2の連立方程式を解く
       v1' = 0(m/s) (物体Aは静止)
       v2' = 1(m/s) (物体Bは速度1m/sで左から右へ移動)
     運動量
       p = 1(kg) x 0(m/s) (物体Aの運動量)
        + 1(kg) x 1(m/s) (物体Bの運動量)
        = 1 (保存する)
     運動エネルギー
       E = 1(kg) x 0(m/s)^2 / 2 (物体Aの運動エネルギー)
        + 1(kg) x 1(m/s)^2 / 2 (物体Bの運動エネルギー)
        = 0.5 (保存する)

   くっつくとき
     衝突前の速度の差
       v1 - v2 = 1
     衝突後の速度の差は0
       v1' - v2' = 0 (式1)
     衝突後の運動量は保存
       1(kg) x v1' + 1(kg) x v2' = 1 (式2)
     各速度
       式1と式2の連立方程式を解く
       v1'= 0.5(m/s) (物体Aは速度0.5m/sで左から右へ移動)
       v2'= 0.5(m/s) (物体Bは速度0.5m/sで左から右へ移動)
       物体AとBはくっついて移動する
     運動量
       p = 1(kg) x 0.5(m/s) (物体Aの運動量)
        + 1(kg) x 0.5(m/s) (物体Bの運動量)
        = 1 (保存する)
     運動エネルギー
       E = 1(kg) x 0.5(m/s)^2 / 2 (物体Aの運動エネルギー)
        + 1(kg) x 0.5(m/s)^2 / 2 (物体Bの運動エネルギー)
        = 0.25 (保存しない)

例2)物体Aは1kgで速度3m/s(v1)で左から右へ移動し、
   物体Bは2kgで速度0m/s(v2)で静止している。
   物体Aが物体Bに衝突する。
   衝突後の物体Aの速度をv1'、物体Bの速度をv2'とする。

   衝突前
     運動量の総量
       p = 1(kg) x 3(m/s) (物体Aの運動量)
        + 2(kg) x 0(m/s) (物体Bの運動量)
        = 3
     運動エネルギーの総量
       E = 1(kg) x 3(m/s)^2 / 2 (物体Aの運動エネルギー)
        + 1(kg) x 0(m/s)^2 / 2 (物体Bの運動エネルギー)
        = 4.5

   完全に跳ね返るとき
     衝突前の速度の差
       v1 - v2 = 3
     衝突後の速度の差は反転
       v1' - v2' = -3 (式1)
     衝突後の運動量は保存
       1(kg) x v1' + 2(kg) x v2' = 3(式2)
     各速度
       式1と式2の連立方程式を解く
       v1'= -1(m/s)(物体Aは跳ね返って速度1m/sで右から左へ移動)
       v2'= 2 (m/s)(物体Bは速度2m/sで左から右へ移動)
     運動量
       p = 1(kg) x -1(m/s) (物体Aの運動量)
        + 2(kg) x 2(m/s) (物体Bの運動量)
        = 3 (保存する)
     運動エネルギー
       E = 1(kg) x -1(m/s)^2 / 2 (物体Aの運動エネルギー)
        + 2(kg) x 2(m/s)^2 / 2 (物体Bの運動エネルギー)
        = 4.5 (保存する)

   くっつくとき
     衝突前の速度の差
       v1 - v2 = 3
     衝突後の速度の差は0
       v1' - v2' = 0 (式1)
     衝突後の運動量は保存
       1(kg) x v1' + 2(kg) x v2' = 3 (式2)
     各速度
       式1と式2の連立方程式を解く
       v1'= 1(m/s) (物体Aは速度1m/sで左から右へ移動)
       v2'= 1(m/s) (物体Bは速度1m/sで左から右へ移動)
       物体AとBはくっついて移動する
     運動量
       p = 1(kg) x 1(m/s) (物体Aの運動量)
        + 2(kg) x 1(m/s) (物体Bの運動量)
        = 3 (保存する)
     運動エネルギー
       E = 1(kg) x 1(m/s)^2 / 2 (物体Aの運動エネルギー)
        + 2(kg) x 1(m/s)^2 / 2 (物体Bの運動エネルギー)
        = 1.5 (保存しない)

例3)物体Aは1kgで速度1m/s(v1)で左から右へ移動し、
   動かない壁にぶつかる(0m/s(v2))
   衝突後の物体Aの速度をv1'、壁の速度をv2'とする。

   衝突前
     運動量の総量
       p = 1 (kg) x 1(m/s) (物体Aの運動量)
        + ∞(kg) x 0(m/s) (壁の運動量)
        = 1
     運動エネルギーの総量
       E = 1 (kg) x 1(m/s)^2 / 2 (物体Aの運動エネルギー)
        + ∞(kg) x 0(m/s)^2 / 2 (壁の運動エネルギー)
        = 0.5

   完全に跳ね返るとき
     衝突前の速度の差
       v1 - v2 = 1
     衝突後の速度の差は反転
       v1' - v2' = -1 (式1)
     衝突後の運動量は保存
       1(kg) x v1' + ∞(kg) x v2' = 1 (式2)
     各速度
       式1と式2の連立方程式を解く
       v1'= -1(m/s) (物体Aは跳ね返って速度1m/sで右から左へ移動)
       v2'= 0 (m/s) (壁は静止したまま)
     運動量
       p = 1 (kg) x -1(m/s)
        + ∞(kg) x 0 (m/s)
        = -1 (保存しない?)
     運動エネルギー
       E = 1 (kg) x -1(m/s)^2 / 2
        + ∞(kg) x 0 (m/s)^2 / 2
        = 0.5 (保存する)

   くっつくとき
     衝突前の速度の差
       v1 - v2 = 1
     衝突後の速度の差は0
       v1' - v2' = 0 (式1)
     衝突後の運動量は保存
       1(kg) x v1' + ∞(kg) x v2' = 1 (式2)
     各速度
       式1と式2の連立方程式を解く
       v1'= 0(m/s) (物体Aは壁にくっついて静止)
       v2'= 0(m/s) (壁は静止したまま)
     運動量
       p = 1 (kg) x 0(m/s)
        + ∞(kg) x 0(m/s)
        = 0 (保存しない?)
     運動エネルギー
       E = 1 (kg) x 0(m/s)^2 / 2
        + ∞(kg) x 0(m/s)^2 / 2
        = 0 (保存しない)

   どちらも運動量の総量が保存しないように見えるが、
   動かない壁は地球とつながっており、地球をほんの少し動かす。
   よって運動量の総量は保存される。
   今回、壁の質量を無限大としたが、実際は大きいが有限である。



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